A formális v. szimbolikus logika elsődlegesen a következtetések elméletével, a fogalmak közötti kapcsolatokkal foglalkozik, és utakat mutat állítások bizonyítására. A formális logikában a fogalmakat szigorúan definiáljuk (?), a mondatok pedig precíz, egyértelmű, meghatározott jelsorozatokként (formulák) jelennek meg.

Már René Descartesnek, a híres filozófus-matematikusnak támadt az a gondolata, hogy az algebra módszereit megtartva túlhaladjuk a tradicionális matematika anyagát és a gondolkodás által megtalált általános tudományt ragadjuk meg, úgyhogy a filozófiának az Univerzális Matematika egy fajtájává kellene válnia. Olyan módszerekről álmodozott – mint egyik művében, a Regulaeben (Szabályok), illetve leveleiben írja – mellyel a tudományokat egyesíteni lehet (mint írja, ha van ilyen módszer, azt minden bizonnyal a matematikában lehet megtalálni). A szimbólumok használatának eme általánosítása a hasonló elméletekben elsősorban a matematika sajátja. Az univerzális matematika eme gondolatát Gottfried Wilhelm Leibniz fejlesztette tovább. Bár a modern logika valójában Boole-nak, Schrödernek, De Morgannak és Fregének köszönhető, Leibniz volt az első, akinek valóban határozott terve volt a matematikai logika rendszerének kidolgozásához, annyira, hogy – amint ezt több, elsősorban új kutatási eredmény is mutatja – ez megjelent Leibniz publikálatlan műveiben is.

Néhány példa a szimbolikus jelölésekre:

P: ' 1 + 2 = 3 '

Ez úgy érdemes kiolvasni: „Legyen P annak az állításnak a rövidítése, hogy „ 1 + 2 = 3 ” (a '...' jelek csak azt mutatják meg, hol a P kijelentés eleje és vége, azaz hogy a következő mondat már nem része). Egyébként a P állítás igaz, azaz 1 + 2 valóban egyenlő 3-mal.

Kettő vagy több kijelentésből ún. összetett kijelentések képezhetőek a logikai műveletek: konjunkció („és” művelet), diszjunkció („vagy” művelet) és társaik segítségével.

E műveletek köznyelvi formájukban tulajdonképp nem mások, mint a jól ismert kötőszavak. Bővebb információ a logikai műveletek címszó alatt. Például a következő állításokból:

A: ' 1 + 2 = 3 '

és

B: ' A Wikipédia egy nyílt tartalmú lexikon ',

a konjunkció műveletével a következő összetett állítást kaphatjuk:

C: ' 1 + 2 = 3, és a Wikipédia egy nyílt tartalmú lexikon '.

Néha, nem csak a matematikában és a számítástechnikában, általánosságokat is megfogalmazunk. A köznyelvben ezt névmások segítségével tesszük (mindenki, senki, valaki stb.), ennek a nyelvi jelenségnek a formális logikai megfelelője a változók használata:

D: ' n egy páratlan egész szám ' .

A kijelentés nevében ilyenkor szokás feltüntetni a változókat: azaz az előbbi jelölés bővebben:

D(n): ' n egy páratlan egész szám ' .

Még rövidebben ki tudjuk fejezni magunkat, ha az „...egy páratlan egész szám” jelsorozatot a P(...) jelsorozattal rövidítjük, és ekkor a D állítást a következőképp írhatjuk:

D (n): 'n egy páratlan egész szám

Akár így, akár úgy írjuk is, e kijelentés igaz és hamis is lehet, attól függően, hogy az „n” változó helyére épp mit írok be, hasonlóan ahhoz a kijelentéshez:

E: ' Ő a világ legmagasabb kosárlabdázója ',

Mely kijelentés minden pillanatban egy és csak egy emberre igaz, a világ összes többi emberére kimondva hamis. Pl. az

F: ' Arisztotelész a világ legmagasabb kosárlabdázója ',

Azaz, ha az „Ő” névmás helyére az „Arisztotelész” tulajdonnevet helyettesítjük, biztosan hamis, már ha „Arisztotelészen” a híres stagirai filozófust értjük, aki i. e. 300 körül élt (akkoriban ugyanis még nem kosárlabdáztak).

Egy szabad változókat tartalmazó kijelentést szokás igazságfüggvénynek, logikai függvénynek, szaknyelven predikátumnak is nevezni, a W értelmezési tartománnyal – ez utóbbi azon dolgok halmaza, melyek neveit behelyettesíthetjük a szabad változó helyébe úgy, hogy továbbra is kijelentést kapjunk (azaz legyen az egésznek értelme és lehessen arról beszélni, hogy igaz-e vagy sem, még ha ez nem is dönthető el).

Egy változó kötött, ha egzisztenciális vagy univerzális kvantorral van lekötve. Az univerzális kvantor a formális logika a köznyelvben „minden”, „összes” stb. szavakkal megfogalmazott általánosság megfelelője. Ez, mármint hogy az n változóra minden D halmazbeli értékére teljesül a P() kijelentés, a formális logika nyelvén így írható:

(sajnos ezt nem tudom itt leírni...)

Weierstrass óta az a standard szituáció a matematikai analízisben, hogy a következő kvantifikációk „mindenhez létezik olyan ...” vagy „létezik olyan ... úgy, hogy minden ...-re igaz legyen” (és még bonyolultabb példákra is) kifejezhetőek a szimbólumok segítsége nélkül is. Bizonyos esetekben a szimbólumok túlzott használata ugyanis az érthetőség rovására megy, az iszonyatosan tömör, nagy tartalmi terhelésű hosszú szimbolikus mondatokat már nagyon nehéz kiolvasni, emberi nyelvre fordítani:

Egy különösen érdekes körülmény, nevezetesen, hogy a (szóban forgó?) algebrának, mint a logikának, kétféle interpretációja is van, melyek közt párhuzamosság majdnem tökéletes, annak megfelelően (következményeképp), hogy a betűk fogalmakat vagy kijelentéseket jelentenek. Kétségtelenül, Boole mintájára lehetséges a két interpretáció összevonása/redukciója eggyé, ha mind a fogalmakat, mind az osztályokat úgy tekintjük, hogy sokaságoknak, osztályoknak feleltethetőek meg (hasonlíthatóak). Minthogy a fogalom meghatározza azon objektumok(->dolgok) osztályát, amelyek az illető fogalom körébe tartoznak – ez az osztály logikai elnevezéssel fogalom terjedelme, egy kijelentés pedig meghatározza azokat a körülményeket, időpillanatokat, melyekben esetén igaz (és ez az osztály is hívható a kijelentés terjedelmének) . Eszerint a predikátumkalkulus és kijelentés-kalkulus ( redukálttá vált, de az osztálykalkulus, vagy ahogy Leibniz nevezte, az egész és a rész elmélete ... De valójában a predikátum – és ítéletkalkulus tartalmaz olyan különbségeket, melyek teljes azonosításukat a formális nézőpontból és a redukciójukat az egyszerű osztálykalkulusra megakadályozzák.

Különösen, az alapelve a kijelentésnek (A=1)=a jellegzetes a kijelentés-kalkulusra, és a következőképp értelmezzük: Egy kijelentést állítani annyi mint az igazságát állítani. Világos, hogy e formula nem alkalmas fogalmi (conceptual) interpretációra, ha A egy fogalom, (A=1) egy kijelentés, és kellene egy logikai egyenlőség egy fogalom és egy kijelentés közt, ami abszurd. Ebből a formulából az Ellentmondás-mentesség törvényével kombinálva levezetjük a kétértékűség törvényét. Valójában a kijelentés-kalkulus ekvivalens egy osztálykalkulussal, mikor is az osztályok csak kétféle elemből állhatnak, ezek a 0 vagy 1.

Az implikáció és a diszjunkció ekvivalenciája (a \Rightarrow b) \Leftrightarrow (\bar{a} \vee b) nem kevésbé alapvető a kijelentés-kalkulus számára, minthogy lehetővé teszi a másodfokú, harmadfokú stb. kijelentések redukcióját elsődleges kijelentésekre (?), vagy ilyenek összegeire.

Eszerint valójában három különféle kalkulusunk van, vagy éppenséggel háromféle különböző interpretációja egyazon kalkulusnak. Egy esetben sem feledhetjük, hogy a formulák logikai értéke és a deduktív sorozata csöppet sem függ attól az értelmezéstől, amit adunk nekik. ezek az interpretácók sosem igazolhatják a formulákat, legfeljebb csak érthetőbbé, tisztábbá, ember közelibbé tehetik őket; elhagyhatóak a rendszer formális szigorúságának megsértése nélkül.

(forrás: Wikipédia)